Олимпиадная задача по многочленам: дискриминанты квадратных трёхчленов для 5-7 классов

  Напомним, что

    а) дискриминант привёденного квадратного трёхчлена равен квадрату разности его корней;

    б) при умножении трёхчлена на константу a дискриминант умножается на a².   Первый способ. Пусть a – общий корень описанных трёхчленов. Тогда их можно представить в виде  (x – a)(x – b)  и  (x – a)(x – c),   а их сумма равна  (x – a)(2x – b – c).  Следовательно,  (a – b)² + (a – c)² = ((a – b) + (a – c))²= (a – b)² + (a – c)² + 2(a – b)(a – c),  откуда  (a – b)(a – c) = 0.  Значит,  a = b  или  a = c,  что означает равенство нулю дискриминанта первого или второго трёхчлена соответственно.   Второй способ. Из а) и б) следует, что дискриминант квадратного трёхчлена не меняется при сдвиге переменной (то есть при замене x на  x + h).  Значит, можно считать, что общим корнем данных трёхчленов является  x₀ = 0.  Тогда трёхчлены имеют вид  x² + px,  x² + qx,  а их сумма равна

2x² + (p + q)x.  По условию их дискриминанты связаны равенством  (p + q)² = p² + q²,  откуда  2pq = 0,  что и означает равенство нулю p или q, а значит, и дискриминанта одного из трёхчленов.