Задача олимпиады о спицах в кубе

Автор: [Шаповалов А.В.](https://mirolimp.ru/tasks?author%5Bvalue%5D=100126)

  Пусть рёбра куба параллельны осям координат.

  а) Разобьём куб на слои толщиной 1, параллельные плоскости $Oxy$. Рассмотрим только спицы направлений $Ox$ и $Oy$. В каждом слое найдём максимум числа таких спиц, идущих в одном направлении. Точно также найдём максимумы числа спиц для каждого слоя параллельного $Oxz$ и параллельного $Oyz$. Пусть $k$ – минимум из 6$n$ этих максимумов.

  Рассмотрим слой $K$, где максимум равен $k$. В слое можно выбрать  $2n - k$  строк и  $2n - k$  столбцов, через которые не проходят спицы слоя. На пересечении выбранных рядов есть  $(2n - k)^2$  кубиков, их протыкают  $(2n - k)^2$  спиц, перпендикулярных $K$. Покрасим эти  $(2n - k)^2$  спиц в синий цвет. Выберем грань $P$ куба, перпендикулярную слою $K$. Рассмотрим слои, параллельные $P$ и не содержащие синих спиц. Их ровно $k$. В каждом таком слое можно выбрать не менее $k$ спиц одного направления, всего не менее $k^2$ спиц. Добавим к ним синие спицы. По известному неравенству  $k^2+(2n-k)^2\geqslant\frac{1}{2} (k+(2n-k))^2=2n^2.$   б) Выделим в нашем кубе два меньших куба со стороной $n$, примыкающие к противоположным вершинам. Они состоят из $2n^3$ единичных кубиков. Проткнём каждый выделенный кубик тремя перпендикулярными спицами. Тогда и все невыделенные единичные кубики тоже проткнуты. Заметим, что каждая спица протыкает ровно $n$ выделенных кубиков. Значит, если спицы выбраны так, что никакой кубик не проткнут дважды, то спиц не более чем  $2n^3:n = 2n^2$.