Задача № 1668398 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
Куб, состоящий из (2n)3 единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2n кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие 2n2 спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
Задача № 16666110 класс11 класс4 / 5
Дан неравнобедренный треугольник ABC. Вписанная окружность касается его сторон AB, AC и BC в точках D, E, F соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке N. Пусть T – ближайшая к N точка пересечения прямой AN с вписанной окружностью, а
K – точка пересечения прямых DE и FT. Докажите, что AK∣∣BC.
Задача № 1657168 класс9 класс10 класс3 / 5
В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60°, H – точка пересечения высот. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что прямые AN и BM параллельны (или совпадают).
Задача № 1654599 класс10 класс11 класс3 / 5
Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC и прямоугольный треугольник ABD с общей гипотенузой AB (D и C лежат по одну сторону от прямой AB). Пусть DK – биссектриса треугольника ABD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ACK лежит на прямой AD.