Задача № 216829
В некоторых клетках квадрата 11×11 стоят плюсы, причём всего плюсов чётное количество. В каждом квадратике 2×2 тоже чётное число плюсов. Докажите, что чётно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата.
Бакаев Е. В.
155 задачЗадача № 216817
Про группу из пяти человек известно, что: Алеша на 1 год старше Алексеева, Боря на 2 года старше Борисова, Вася на 3 года старше Васильева, Гриша на 4 года старше Григорьева, а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?
Задача № 216678
На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.
Задача № 216577
Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нём в любом месте цифру 1. Из любого ли натурального числа A при помощи таких операций можно получить число A + 1? (Если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)
Задача № 215985
На бесцветной плоскости покрасили три произвольные точки: одну – в красный цвет, другую – в синий, третью –` в жёлтый. Каждым ходом выбирают на плоскости любые две точки двух из этих цветов и окрашивают еще одну точку в оставшийся цвет так, чтобы эти три точки образовали равносторонний треугольник, в котором цвета вершин идут в порядке "красный, синий, жёлтый" (по часовой стрелке). При этом разрешается красить и уже окрашенную точку плоскости (считаем, что точка может иметь одновременно несколько цветов). Докажите, что сколько бы ходов ни было сделано, все точки одного цвета будут лежать на од...
Задача № 215983
На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. Затем по одному пришли ещё 20 детей, и каждый садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовём девочку отважной, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика – отважным, если он садился между двумя соседними девочками. В итоге оказалось, что мальчики и девочки на скамейке чередуются. Можно ли наверняка сказать, сколько отважных среди детей на скамейке?
Задача № 215972
Можно ли в клетках таблицы 19×19 отметить несколько клеток так, чтобы во всех квадратах 10×10 было разное количество отмеченных клеток?
Задача № 215950
Двадцать детей – десять мальчиков и десять девочек – встали в ряд. Каждый мальчик сказал, сколько детей стоит справа от него, а каждая девочка – сколько детей стоит слева от неё. Докажите, что сумма чисел, названных мальчиками, равна сумме чисел, названных девочками.
Задача № 167504
На плоскости провели прямых, среди них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Рассмотрим всевозможные четырёхугольники, все стороны которых лежат на этих прямых (в том числе четырёхугольники, внутри которых проведены линии). Обязательно ли выпуклых среди них столько же, сколько невыпуклых?
Задача № 167498
На доску записали числа , , ..., . Далее за ход стирают любые два числа и , где , и пишут вместо них одно число . После ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что — это наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 167488
На каждой стороне выпуклого многоугольника построили треугольник, третья вершина которого — пересечение биссектрис двух углов многоугольника, примыкающих к этой стороне. Докажите, что вместе эти треугольники покрывают весь многоугольник.
Задача № 167476
В ряд лежат 100 камней: чёрный, белый, чёрный, белый, ..., чёрный, белый. Одной операцией либо выбирают два чёрных камня, между которыми лежат только белые камни, и перекрашивают все эти белые камни в чёрный цвет, либо выбирают два белых камня, между которыми лежат только чёрные камни, и перекрашивают все эти чёрные камни в белый цвет. Можно ли за несколько таких операций получить ряд, в котором идут сначала 50 чёрных камней, а потом 50 белых?
Задача № 167420
Пять равносторонних треугольников расположены так, как показано на рисунке ниже. Три больших треугольника равны между собой и два маленьких тоже равны между собой. Найдите углы треугольника .
Задача № 167404
В каждую клетку доски вписано натуральное число так, что выполнено условие: если из одной клетки в другую можно перейти одним ходом коня, то отношение чисел в этих двух клетках является простым числом. Могло ли оказаться, что в какую-то клетку вписано число , а в какую-то другую – число ?
Задача № 167256
На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количества точек на гранях каждого игрального кубика равны числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)
Задача № 167255
В треугольнике ABC провели медианы BK и CN, пересекающиеся в точке M. Какое наибольшее количество сторон четырёхугольника ANMK может иметь длину 1?
Задача № 167238
В треугольнике отношение медианы к стороне равно . На сторонах отмечены точки, делящие каждую сторону на 3 равные части. Докажите, что какие-то 4 из этих 6 отмеченных точек лежат на одной окружности.
Задача № 167179
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом градусов одна биссектриса в два раза короче другой.
Задача № 167156
На сторонах правильного девятиугольника во внешнюю сторону построили треугольники , , и . Известно, что углы , , , этих треугольников равны каждый, а среди углов , , и каждый следующий на больше предыдущего. Докажите, что точки , , , лежат на одной окружности.
Задача № 167150
Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на два треугольника. Могут ли через несколько действий все треугольники оказаться равнобедренными?
Задача № 167148
Большая окружность вписана в ромб, каждая из двух меньших окружностей касается двух сторон ромба и большой окружности, как на рисунке. Через точки касания окружностей со сторонами ромба провели четыре штриховые прямые, как на рисунке. Докажите, что они образуют квадрат.
Задача № 167143
Существует ли натуральное число, которое можно представить в виде произведения двух палиндромов более чем 100 способами? (Палиндромом называется натуральное число, которое одинаково читается как слева направо, так и справа налево.)
Задача № 167142
Можно ли расставить в клетках таблицы числа, среди которых нет одинаковых, так, чтобы в каждом прямоугольнике (как вертикальном, так и горизонтальном) сумма чисел была равна 2022 или 2023?
Задача № 167019
Прямоугольники и расположены так, что точка лежит на отрезке , а точки , , , лежат на одной окружности (см. рисунок). Докажите, что .
Задача № 166995
На высотах , , остроугольного неравностороннего треугольника отметили соответственно точки так, что , где – радиус описанной окружности треугольника . Докажите, что центр описанной окружности треугольника совпадает с центром вписанной окружности треугольника .
Задача № 166948
Есть набор монет радиусами см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?
Задача № 166871
На прямой отметили точки (именно в таком порядке) и построили на отрезках , , ..., как на основаниях равнобедренные треугольники с углом при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром . Найдите .
Задача № 166843
На диагонали ромба построен параллелограмм так, что точка лежит внутри него, а сторона равна стороне ромба. Докажите, что – точка пересечения высот треугольника .
Задача № 166842
Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма каждых 11 подряд идущих чисел равнялась 100 или 101?
Задача № 166826
В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно 4 фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?
Задача № 166823
Дан выпуклый пятиугольник , в котором AE || CD и . Биссектрисы его углов и пересекаются в точке . Докажите, что BK || AE.
Задача № 166819
В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно три фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?
Задача № 166785
Даны три окружности. Первая и вторая пересекаются в точках и , вторая и третья – в точках и , третья и первая – в точках и . Пусть – центр описанной окружности треугольника . Через все пары точек вида и провели прямые. Докажите, что эти 4 прямые пересекаются в одной точке или параллельны.
Задача № 166777
В остроугольном треугольнике – середина стороны , – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки , , , . Докажите, что одно из отношений , , равно сумме двух других.
Задача № 166754
К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.
Задача № 166750
Внутри равнобедренного треугольника отмечена точка так, что и ∠ KAC = 30°. Найдите угол .
Задача № 166747
К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.
Задача № 166720
Петя расставляет 500 королей на клетках доски 100×50 так, чтобы они не били друг друга. А Вася – 500 королей на белых клетках (в шахматной раскраске) доски 100×100 так, чтобы они не били друг друга. У кого больше способов это сделать?
Задача № 166716
Можно ли внутри правильного пятиугольника разместить отрезок, который из всех вершин виден под одним и тем же углом?
Задача № 166703
Точка – центр описанной окружности остроугольного треугольника , – его высота. Точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Докажите, что прямая проходит через середину стороны .
Задача № 166699
В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три грани. Каждая грань покрашена в красный, жёлтый или синий цвет. Докажите, что число вершин, в которых сходятся грани трёх разных цветов, чётно.
Задача № 166692
В квадрате расставили целые числа так, что в каждом из восьми рядов (строках и столбцах) сумма чисел одна и та же. Семь чисел известны, а остальные скрыты (см. рисунок). Можно ли по имеющимся данным восстановить а) хотя бы одно скрытое число; б) хотя бы два скрытых числа?
Задача № 166691
На гипотенузе прямоугольного треугольника отметили точку , а на катете – точку так, что . Отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что треугольник равнобедренный.
Задача № 166625
В доме этажей. В подъезде два лифта, в каждом из которых кнопки расположены в виде прямоугольника ( строк, 8 столбцов), но пронумерованы по-разному: в одном «слева направо, снизу вверх», а в другом «снизу вверх, слева направо» (пример для см. на рисунке). Даня нажимает кнопку своего этажа, не глядя на нумерацию, потому что эта кнопка в обоих лифтах расположена на одном и том же месте. На каком этаже он может жить? (Например, для ответ 1 и 24. Требуется найти все возможные варианты в зависимости от .) 17 18 19 20 21 22 23 24 9 10...
Задача № 166623
Требуется разделить криволинейный треугольник на рисунке на 2 части одинаковой площади, проведя одну линию циркулем. Это можно сделать, выбрав в качестве центра одну из отмеченных точек и проводя дугу через другую отмеченную точку. Найдите способ это сделать и докажите, что он подходит.
Задача № 166548
Дан правильный треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка K, на стороне BC — точки L и M (L лежит на отрезке BM) так, что KL = KM, BL = 2, AK = 3. Найдите CM.
Задача № 166544
Царь пообещал награду тому, кто сможет на каменистом пустыре посадить красивый фруктовый сад. Об этом узнали два брата. Старший смог выкопать 18 ям (см. рис. слева). Больше нигде не удалось, только все лопаты сломал. Царь рассердился и посадил его в темницу. Тогда младший брат Иван предложил разместить яблони, груши и сливы в вершинах равных треугольников (см. рис. справа), а остальные ямы засыпать. Царь ответил так: — Хорошо, если деревьев каждого вида будет ровно по три и они будут расти в вершинах равных треугольников, выйдет красиво. Но три вида — слишком мало. Если кроме яблонь, гр...
Задача № 166538
Биссектриса угла ABC пересекает описанную окружность w треугольника ABC в точках B и L. Точка M – середина отрезка AC. На дуге ABC окружности w выбрана точка E так, что EM ∥ BL. Прямые AB и BC пересекают прямую EL в точках P и Q соответственно. Докажите, что PE = EQ.