Несократимая дробь в виде суммы

Заметим, что в каждом слагаемом есть дробь $\frac{999}{1999}$. Вынесем ее за скобку: $$\frac{a}{b}=\frac{999}{1999} \left(1+\frac{998}{1998}+\frac{998}{1998}\cdot \frac{997}{1997}+\ldots + \frac{998}{1998}\cdot \ldots \cdot \frac{1}{1001}\right).$$

В каждом слагаемом в скобках, кроме $1$, оставшейся от $\frac{999}{1999}$, будет дробь $\frac{998}{1998}$, которую тоже можно вынести за скобку:

$$\frac{a}{b}=\frac{999}{1999} \left(1+\frac{998}{1998}\left(1+\frac{997}{1997}\cdot \frac{996}{1996}+\ldots + \frac{997}{1997}\cdot \ldots \cdot \frac{1}{1001}\right)\right).$$

А в скобках вновь в каждом слагаемом, кроме $1$, оставшейся от $\frac{998}{1998}$, будет дробь $\frac{997}{1997}$, которую можно вынести за скобку. Такой процесс можно продолжать до тех пор, пока внутри скобок не останется сумма $1+\frac{1}{1001}$:

$$\frac{a}{b} = \frac{999}{1999} \left(1+\frac{998}{1998}\left(\ldots \left(1+\frac{3}{1003} \left( 1 + \frac{2}{1002} \left(1+\frac{1}{1001}\right)\right) \right) \ldots \right)\right).$$

Теперь будем последовательно вычислять значение этого выражения изнутри наружу. Начнем с вычисления выражения в самых внутренних скобках:

$$\left( 1 + \frac{2}{1002} \left(1+\frac{1}{1001}\right)\right)= \left( 1 + \frac{2}{1002} \cdot \frac{1002}{1001} \right)= \left(1+\frac{2}{1001}\right).$$

Дальше это процедуру можно повторить:

$$\left(1+\frac{3}{1003} \left(1+\frac{2}{1001}\right) \right)= \left( 1 + \frac{3}{1003}\cdot \frac{1003}{1001}\right)= \left( 1 + \frac{3}{1001}\right).$$

Теперь мы можем высказать предположение и проверить его: на каждом шаге у нас будет получаться дробь вида $\frac{k}{1001}$. Действительно, если уже получилась дробь $\frac{k-1}{1001}$, то на следующем шаге и правда получится $\frac{k}{1001}$:

$$\frac{a}{b} = \frac{999}{1999} \left(1+\frac{998}{1998}\left(\ldots \left( 1 + \frac{k}{1000+k} \left(1+\frac{k-1}{1001}\right)\right) \ldots \right)\right) =$$ $$= \frac{999}{1999} \left(1+\frac{998}{1998}\left(\ldots \left( 1 + \frac{k}{1000+k} \cdot \frac{1000+k}{1001}\right) \ldots \right)\right)$$ $$= \frac{999}{1999} \left(1+\frac{998}{1998}\left(\ldots \left( 1 + \frac{k}{1001}\right) \ldots \right)\right).$$

Продолжая таким образом, мы придем к ответу:

$$\frac{a}{b} = \ldots = \frac{999}{1999} \left( 1 + \frac{998}{1998} \left(1+\frac{997}{1001} \right)\right)=\frac{999}{1999} \left( 1 + \frac{998}{1001}\right) = \frac{999}{1001}.$$