Задание олимпиады: произведение дробей как натуральное число

Домножим каждое из чисел в левой части на $10$, а правую часть, соответственно, на $1000$. Если ${\ast}{,}{\ast}$ домножить на $10$, то получится $\ast\ast$. Поскольку ни одна из звездочек не должна равняться нулю, каждое такое число – двузначное и не делится на $10$. Значит, надо число вида $\ast000=\ast\cdot 2^3\cdot 5^3$ представить в виде произведения трех двузначных чисел, не кратных $10$. Если число не делится на $10$, то в его разложение одновременно и $2$, и $5$ входить не могут; $5^3=125$ уже трехзначное число, значит, в разложение одного из чисел в левой части должны войти ровно две $5$, в одно – одна $5$, а в оставшееся – $2^3$.

Итак, в один из множителей из левой части входит $25$, в другой – $8$, в третий – $5$; числа должны быть двузначные. Значит, у цифры $\ast$ должно быть как минимум два простых делителя: на один мы должны домножить 8, на другой – $5$; кроме того, $5$ нельзя домножить на $2$, т.е. в разложении $\ast$ должна быть не $2$. Итого для $\ast$ остаются всего два варианта: $6=2\cdot 3$ и $9=3\cdot 3$, которые и дают нам оба примера.