Задание олимпиады о делителях составного числа n
На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа n, увеличенные на 1. Найдите все такие числа n, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа m.
Показать ответ
n = 4 или n = 8.
Разобрать решение
Заметим, что число 2 на доску не выписано, ибо 1 – не собственный делитель n; стало быть, m нечётно. Значит, все выписанные делители m нечётны, а потому все делители n чётны. Итак, n не делится на нечётные простые числа, то есть n – степень двойки (и все его делители – тоже).
Если n делится на 16, то 4 и 8 – его собственные делители, поэтому на доску выписаны 5 и 9. Стало быть, m делится на 45 и, в частности, 15 является его собственным делителем. Но число 15 выписано быть не могло, поскольку 14 не является степенью двойки. Следовательно, n не может делиться на 16.
Оставшиеся (составные) степени двойки n = 4 и n = 8 подходят: для них можно соответственно положить m = 9 и m = 15.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.