Задача № 216630
Приведённый квадратный трёхчлен P(x) таков, что многочлены P(x) и P(P(P(x))) имеют общий корень. Докажите, что P(0)P(1) = 0.
Храбров А.
33 задачЗадача № 216543
Даны положительные числа x, y, z. Докажите неравенство
Задача № 211883
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число 2x + 1 или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
Задача № 211835
Дан многочлен P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an. Положим m = min {a0, a0 + a1, ..., a0 + a1 + ... + an}. Докажите, что P(x) ≥ mxn при x ≥ 1.
Задача № 210215
Известно, что и x1 + x2 + ... + x6 = 0. Докажите, что x1x2...x6 ≤ ½.
Задача № 210210
Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0, найдется такое натуральное n , что | sin nx| .
Задача № 210185
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
Задача № 210180
Докажите, что для x > 0 и натурального n.
Задача № 210074
Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?
Задача № 210066
Даны целые числа a, b и c, c ≠ b. Известно, что квадратные трёхчлены ax² + bx + c и (c – b)x² + (c – a)x + (a + b) имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что a + b + 2c делится на 3.
Задача № 210036
По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном a0 > 5 в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.
Задача № 210027
Для неотрицательных чисел x и y, не превосходящих 1, докажите, что
Задача № 209790
Последовательность {an} строится следующим образом: a1 = p – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, an+1 – период десятичной дроби 1/an, умноженный на 2. Найдите число a2003.
Задача № 209784
Последовательность натуральных чисел an строится следующим образом: a0 – некоторое натуральное число; an+1 = ⅕ an, если an делится на 5; an+1 = [ an], если an не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность an возрастает.
Задача № 209775
Даны многочлены f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел a < b имеют место равенства f(a) = g(a) и f(b) = g(b). Докажите, что если b > m, то многочлены f и g совпадают.
Задача № 209761
Докажите, что для любого натурального числа n > 10000 найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что 0 < m – n < 3 .
Задача № 209720
Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.
Задача № 209712
Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
Задача № 209711
Докажите неравенство sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.
Задача № 209704
Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство
Задача № 209654
Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол90o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .
Задача № 166159
На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа n, увеличенные на 1. Найдите все такие числа n, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа m.
Задача № 166152
Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел a, b и c найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения a³, b³ и c³?
Задача № 165763
Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство 1/a³ + 1/b³ + 1/c³ + 1/d³ ≤ 1/a³b3c³d³.
Задача № 165748
Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство 1/a² + 1/b² + 1/c² + 1/d² ≤ 1/a²b²c²d².
Задача № 165726
Существуют ли такие целые числаaиb, что а) уравнение x² +ax + b= 0 не имеет корней, а уравнение [x²] +ax + b= 0 имеет? б) уравнение x² + 2ax + b= 0 не имеет корней, а уравнение [x²] + 2ax + b= 0 имеет?
Задача № 165705
Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию xyz ≥ xy + yz + zx. Докажите неравенство
Задача № 165470
Все коэффициенты некоторого непостоянного многочлена целые и по модулю не превосходят 2015. Докажите, что любой положительный корень этого многочлена больше чем 1/2016.
Задача № 165128
Квадратный трёхчлен f(x) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство f(a² + b²) ≥ f(2ab). Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.
Задача № 165117
Числа a, b, c и d таковы, что a² + b² + c² + d² = 4. Докажите, что (2 + a)(2 + b) ≥ cd.
Задача № 164770
Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что x > y, верно неравенство (f(x))² ≤ f(y). Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке [0,1].
Задача № 164625
Какое из чисел больше: (100!)! или 99!100!·100!99!?
Задача № 164364
Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию 2(a + b + c + d) ≥ abcd. Докажите, что a² + b² + c² + d² ≥ abcd.