Задача № 167517
На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее количество вершин 100-угольника может находиться внутри круга (не на границе)?
Олимпиадные задачи из источника «46 турнир (2024/2025 год)» - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167513
Существует ли такое положительное число , что (Здесь — дробная часть числа , то есть разность между и ближайшим целым числом, не превосходящим .)
Задача № 167507
Учитель назвал две различные ненулевые цифры. Коля хочет составить делящееся на семизначное число, в десятичной записи которого нет других цифр, кроме этих двух. Всегда ли Коля может это сделать, какие бы две цифры ни назвал учитель?
Задача № 167506
Дан многочлен с целыми коэффициентами, имеющий хотя бы один целый корень. Наибольший общий делитель всех его целых корней равен . Докажите, что если старший коэффициент многочлена равен , то наибольший общий делитель остальных коэффициентов тоже равен .
Задача № 167504
На плоскости провели прямых, среди них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Рассмотрим всевозможные четырёхугольники, все стороны которых лежат на этих прямых (в том числе четырёхугольники, внутри которых проведены линии). Обязательно ли выпуклых среди них столько же, сколько невыпуклых?
Задача № 167503
Найдите наименьшее натуральное число, у которого найдутся четыре различных натуральных делителя с суммой 2025.
Задача № 167500
На стороне прямоугольника взята точка . Из вершины опустили перпендикуляр на отрезок . Оказалось, что отрезки и делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны , равны, то и третий круг им равен.
Задача № 167499
В классе школьников, среди них образовалось несколько компаний.Общительностьюшкольника назовём количество людей в наибольшей компании, куда он входит (если ни в одну не входит, то общительность равна ). Оказалось, что у всех девочек в классе общительность разная. Каково наибольшее возможное количество девочек в классе?
Задача № 167498
На доску записали числа , , ..., . Далее за ход стирают любые два числа и , где , и пишут вместо них одно число . После ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что — это наибольшее целое число, не превосходящее .)
Задача № 167491
Петя записал на доске натуральное число. Каждую минуту Вася умножает последнее записанное на доску число на 2 или на 3 и записывает результат на доске. Может ли Петя выбрать начальное число так, чтобы в любой момент среди всех записанных на доске чисел количество начинающихся на 1 или 2 было больше, чем количество начинающихся на 7, 8 или 9, как бы ни действовал Вася?
Задача № 167488
На каждой стороне выпуклого многоугольника построили треугольник, третья вершина которого — пересечение биссектрис двух углов многоугольника, примыкающих к этой стороне. Докажите, что вместе эти треугольники покрывают весь многоугольник.
Задача № 167487
У 10 детей есть несколько мешков с конфетами. Дети начинают делить конфеты между собой. Каждый по очереди забирает из каждого мешка свою долю и уходит. Доля вычисляется так: делим текущее число конфет в каждом мешке на число оставшихся детей (включая себя), если нацело не поделилось — округляем до целого в меньшую сторону. Может ли всем достаться разное количество конфет, а) если мешков всего 8; б) если мешков всего 9?
Задача № 167485
Петя и Вася по очереди проводят дороги на плоскости, начинает Петя. Дорога — это горизонтальная или вертикальная прямая, по которой можно двигаться только в одну сторону (выбранную при создании дороги). Всегда ли Вася может действовать так, чтобы после любого его хода можно было проехать по правилам от любого перекрёстка дорог до любого другого, как бы ни действовал Петя?
Задача № 167484
Барон Мюнхгаузен взял несколько карточек и написал на каждой по натуральному числу (числа могут повторяться). Барон утверждает, что использовал только две различные цифры, зато когда он для каждой пары карточек нашёл сумму чисел на них, то среди первых цифр этих сумм встретились все цифры от 1 до 9. Могут ли слова барона быть правдой?
Задача № 167482
В равностороннем треугольнике проведены отрезки и , так что образовались два равносторонних треугольника и со сторонами 1 и 100 (точки и лежат на стороне ). Отрезки и пересекаются в точке , причём угол равен . Чему равна сторона треугольника ?
Задача № 167481
В ряд записаны натуральных чисел. Каждое из них, кроме первого, — наименьшее натуральное число, на которое не делится предыдущее. Могут ли все пять чисел быть различными?
Задача № 167480
У двух многочленов с вещественными коэффициентами старшие коэффициенты равны 1. У каждого многочлена степень нечётна и равна числу его различных вещественных корней. Произведение значений первого многочлена в корнях второго равно 2024. Найдите произведение значений второго многочлена в корнях первого.
Задача № 167479
Набор состоит из одинаковых трёхклеточных уголков, у которых центральные клетки испачканы краской. Прямоугольную доску покрыли в один слой уголками, не выходящими за пределы доски, а затем убрали уголки. Испачканные клетки оставили на доске следы. Всегда ли по этим следам можно узнать, как именно лежали уголки?
Задача № 167478
Мама и сын играют. Сначала сын режет головку сыра 300 г на 4 куска. Затем мама распределяет 280 г масла на 2 тарелки. Наконец, сын раскладывает куски сыра на те же тарелки. Он выиграет, если на каждой тарелке сыра будет не меньше, чем масла (иначе выиграет мама). Кто из них может победить, как бы ни действовал другой?
Задача № 167477
Натуральное число представили в виде произведения простых сомножителей. Затем каждый из них увеличили на 1, и произведение стало равно . Оказалось, что делится на . Докажите, что если теперь разложить на простые множители и каждый из них увеличить на 1, то полученное произведение будет делиться на .
Задача № 167476
В ряд лежат 100 камней: чёрный, белый, чёрный, белый, ..., чёрный, белый. Одной операцией либо выбирают два чёрных камня, между которыми лежат только белые камни, и перекрашивают все эти белые камни в чёрный цвет, либо выбирают два белых камня, между которыми лежат только чёрные камни, и перекрашивают все эти чёрные камни в белый цвет. Можно ли за несколько таких операций получить ряд, в котором идут сначала 50 чёрных камней, а потом 50 белых?
Задача № 167451
В треугольнике с прямым углом провели высоту . Окружность, проходящая через точки и , повторно пересекает отрезки , и в точках , и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке . Что больше: площадь треугольника или сумма площадей треугольников и ?
Задача № 167446
Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости расставить бесконечное количество шахматных коней (не более одного коня в клетку) так, чтобы каждый конь бил ровно 5 других?