Задача № 167522
Дан треугольник . Пусть — его биссектриса, — середина дуги , а — проекция ортоцентра на медиану, проведённую из вершины . Окружность пересекает прямую, проходящую через и параллельную , в точке . Докажите, что .
Олимпиадные задачи из источника «46 турнир (2024/2025 год)»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 167521
По кругу стоит 99 тарелок, на них лежат булочки (на тарелке может быть любое число булочек или вовсе их не быть). Известно, что на любых 20 подряд идущих тарелках лежит суммарно хотя бы булочек. При этом ни одну булочку ни с одной тарелки нельзя убрать так, чтобы это условие не нарушилось. Какое наибольшее суммарное число булочек может лежать на тарелках?
Задача № 167520
В трёхмерном координатном пространстве рассмотрим множество всех кубов с целочисленными координатами вершин. Докажите, что в этом множестве существует такое бесконечное подмножество , что любые два разных куба из не имеют параллельных рёбер.
Задача № 167519
Пусть — набор из различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел , где , подсчитаем, сколько чисел в являются делителями числа . Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?
Задача № 167518
Дано натуральное число . Натуральное число назовёмудачным, если найдутся последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.
Задача № 167517
На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее количество вершин 100-угольника может находиться внутри круга (не на границе)?
Задача № 167516
Петя красит каждую клетку доски в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на доминошки (прямоугольники из двух клеток). Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше двухцветных доминошек, а Вася — к тому, чтобы их получилось как можно меньше. Наличие какого наибольшего числа двухцветных доминошек может гарантировать Петя, как бы ни действовал Вася? (Напомним, что граница многоугольника — замкнутая ломаная без самопересечений.)
Задача № 167515
Барон Мюнхгаузен утверждает, что существуют многочлен с целыми коэффициентами и натуральные числа и со свойством: не делится на , но делится на для любого простого и любого натурального . Не ошибается ли барон?
Задача № 167514
В стране, валюта которой — тугрики, ходят только купюры двух целочисленных достоинств. И покупатель, и продавец имеют достаточно много и тех, и других купюр, но при каждом платеже могут использовать вместе не более купюр (включая сдачу). Известно, что так можно сделать платёж на любую целую сумму от 1 до тугриков. Каково наибольшее возможное (в зависимости от )?
Задача № 167513
Существует ли такое положительное число , что (Здесь — дробная часть числа , то есть разность между и ближайшим целым числом, не превосходящим .)
Задача № 167512
Хозяйка достала кусок мяса из холодильника, вокруг неё собрались котята. Раз в минуту хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котят (на свой выбор), причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает остаток мяса в холодильник. Может ли хозяйка скормить котятам поровну мяса, если всего котят а) двое; б) трое?
Задача № 167511
Равносторонний треугольник разрезан на белые и чёрные треугольники. Известно, что все белые треугольники — прямоугольные и равны друг другу, а все чёрные — равнобедренные и тоже равны друг другу. Обязательно ли кратны все углы а) у белых треугольников; б) у чёрных треугольников?
Задача № 167510
Имеется 15 неразличимых на вид монет. Известно, что одна из них весит г, две — по г, три — по г, четыре — по г, пять — по г. На монетах есть соответствующие надписи с указанием масс. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь проверить, все ли надписи сделаны верно? (Не требуется определять, какие именно надписи верны, а какие нет.)
Задача № 167509
Даны действительных чисел. Известно, что как ни разбей их на две группы по чисел, произведение чисел первой группы отличается от произведения чисел второй группы не более чем на . Верно ли, что как ни расставь эти числа по кругу, найдутся два соседних числа, различающихся не более чем на , если а) ; б) ?
Задача № 167508
В квадрате отмечено несколько клеток. За один ход Кирилл может узнать количество отмеченных клеток в любом клетчатом квадрате со стороной меньше внутри исходного квадрата. Какого наименьшего количества ходов точно хватит, чтобы узнать количество отмеченных клеток во всём квадрате?
Задача № 167507
Учитель назвал две различные ненулевые цифры. Коля хочет составить делящееся на семизначное число, в десятичной записи которого нет других цифр, кроме этих двух. Всегда ли Коля может это сделать, какие бы две цифры ни назвал учитель?
Задача № 167506
Дан многочлен с целыми коэффициентами, имеющий хотя бы один целый корень. Наибольший общий делитель всех его целых корней равен . Докажите, что если старший коэффициент многочлена равен , то наибольший общий делитель остальных коэффициентов тоже равен .
Задача № 167505
На плоскости стояло ведро, верхнее основание больше нижнего. Ведро перевернули. Докажите, что площадь его видимой тени уменьшилась. (Ведро — это прямой круговой усечённый конус: его основания — два круга, лежащие в параллельных плоскостях, центры кругов лежат на прямой, перпендикулярной этим плоскостям. Видимая тень — это вся тень, кроме тени под ведром. Солнечные лучи считайте параллельными.)
Задача № 167504
На плоскости провели прямых, среди них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Рассмотрим всевозможные четырёхугольники, все стороны которых лежат на этих прямых (в том числе четырёхугольники, внутри которых проведены линии). Обязательно ли выпуклых среди них столько же, сколько невыпуклых?
Задача № 167503
Найдите наименьшее натуральное число, у которого найдутся четыре различных натуральных делителя с суммой 2025.
Задача № 167502
Прямоугольная клетчатая доска покрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета и разбита на доминошки . Везде, где граничат по стороне горизонтальная и вертикальная доминошки, стоит дверка. Она покрашена в тот же цвет, что и примыкающая клетка той доминошки, которая примыкает короткой стороной. Обязательно ли белых дверок столько же, сколько чёрных?
Задача № 167501
По кругу стоят кувшины с соками, не обязательно одинакового размера. Из любого кувшина разрешается переливать любую часть сока (возможно, нисколько или весь сок) в соседний кувшин справа, так чтобы тот не переполнился и сладость смеси в нём стала равна . Известно, что в начальный момент такое переливание удалось бы сделать из любого кувшина. Докажите, что можно сделать в каком-то порядке несколько таких переливаний (не более одного из каждого кувшина), так чтобы сладость смеси во всех непустых кувшинах стала равна . (Сладость — это процент сахара в смеси, по весу. Сахар всегда равн...
Задача № 167500
На стороне прямоугольника взята точка . Из вершины опустили перпендикуляр на отрезок . Оказалось, что отрезки и делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны , равны, то и третий круг им равен.
Задача № 167499
В классе школьников, среди них образовалось несколько компаний.Общительностьюшкольника назовём количество людей в наибольшей компании, куда он входит (если ни в одну не входит, то общительность равна ). Оказалось, что у всех девочек в классе общительность разная. Каково наибольшее возможное количество девочек в классе?
Задача № 167498
На доску записали числа , , ..., . Далее за ход стирают любые два числа и , где , и пишут вместо них одно число . После ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что — это наибольшее целое число, не превосходящее .)
1–25 из 51