Задача № 167519
Пусть — набор из различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел , где , подсчитаем, сколько чисел в являются делителями числа . Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?
Новиков В. В.
7 задачЗадача № 167443
На доске написаны два натуральных числа, одно из которых получается из другого перестановкой цифр. Может ли их разность равняться ? (Запись натурального числа не может начинаться с нуля.)
Задача № 167184
Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается вставить в какое-то место последовательности (возможно, в начало или в конец) одну или несколько одинаковых букв или убрать из последовательности одну или несколько подряд идущих одинаковых букв. Докажите, что из первой последовательности можно получить вторую не более чем за 100 операций.
Задача № 167182
На каждую клетку доски поставили по сторожу. Каждый сторож может смотреть в одном из четырёх направлений (вдоль линий доски) и сторожить всех сторожей на линии своего взгляда. Для какого наибольшего можно так направить взгляды сторожей, чтобы каждого сторожа сторожили не менее других сторожей?
Задача № 166829
Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 г, серебряные – по 2 г, медные – по 1 г. Как на чашечных весах без гирек определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание?
Задача № 166824
Любое число , написанное на доске, разрешается заменить либо на 3 + 1, либо на [x/2]. Докажите, что если вначале написано число 1, то такими операциями можно получить любое натуральное число.
Задача № 166557
Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?