Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Верно ли, что из любых десяти отрезков найдутся три отрезка, из которых можно составить треугольник?

На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает.

Какое из чисел больше: 31¹¹ или 17¹⁴?

В треугольнике каждую сторону увеличили на 1. Обязательно ли при этом увеличилась его площадь?

В столовой предложено на выбор шесть блюд. Каждый день Вася берёт некоторый набор блюд (возможно, не берет ни одного блюда), причём этот набор блюд должен быть отличен от всех наборов, которые он брал в предыдущие дни. Какое наибольшее количество дней Вася сможет питаться по таким правилам и какое количество блюд он в среднем при этом будет съедать за день?

Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.

Натуральный ряд разбит на <i>n</i> арифметических прогрессий (каждое натуральное число принадлежит ровно одной из этих n прогрессий). Пусть <i>d</i>₁, <i>d</i>₂, ..., <i>d_n</i> – разности этих прогрессий. Докажите, что   ¹/_<i>d</i>₁ + ¹/_<i>d</i>₂ + ... + ¹/_{<i>d_n</i>} = 1.

Дан прямоугольник 100×101, разбитый линиями сетки на единичные квадратики. Найдите число отрезков, на которое линии сетки разбивают его диагональ.

Может ли произведение трёх последовательных натуральных чисел быть степенью натурального числа (квадратом, кубом и т.д.)?

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев <i>особой</i>, если продолжение одного из них пересекает другое звено. Докажите, что число особых пар чётно.

На шахматной доске стоит фишка. Двое по очереди передвигают фишку на соседнюю по стороне клетку. При этом запрещается ставить фишку на поле, где она уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Решите уравнение  <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + ¹/₃ = 0.

Пусть <i>p</i> – простое число, большее 2, а  ^<i>m</i>/_<i>n</i> = 1 + ½ + &frac13; + ... + ¹/_<i>p</i>–1.  Докажите, что <i>m</i> делится на <i>p</i>.

а) На отрезке  [0, 1]  задано такое множество <i>M</i>, являющееся объединением нескольких отрезков, что расстояние между любыми двумя точками из <i>M</i> не равно ¹/₁₀. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих <i>M</i>, не больше ½. б) Верно ли это же утверждение, если заменить ¹/₁₀ на &frac15;?

Дано <i>n</i> попарно взаимно простых чисел, больших 1 и меньших  (2<i>n</i> – 1)².  Докажите, что среди них обязательно есть простое число.

Обязательно ли равны два равнобедренных треугольника, у которых равны боковые стороны и радиусы вписанных окружностей?

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/34918/problem_34918_img_2.gif">   при  <i>n</i> > 1.

На какое наименьшее число тетраэдров можно разбить куб?

Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого <i>n</i>-угольника, чтобы внутри каждого треугольника с вершинами в вершинах этого <i>n</i>-угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?

Среди любых десяти из шестидесяти ребят найдутся трое одноклассников. Докажите, что среди всех них найдутся 15 одноклассников.

Докажите, что для положительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, не превосходящих 1, выполнено неравенство

    <img align="middle" src="/storage/problem-media/34912/problem_34912_img_2.gif">

Пусть <i>O</i> – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>.

Докажите, что если равны периметры треугольников <i>ABO, BCO, CDO, DAO</i>, то <i>ABCD</i> – ромб.

Можно ли на плоскости разместить конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость?

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Докажите, что если равны периметры треугольников ABC, BCD, CDA, DAB, то ABCD - прямоугольник.

В клетки таблицы 8×8 записаны числа 1 и –1 так, что в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (в частности, в угловых клетках) произведения чисел равны 1. Какое максимальное число минус единиц при этом возможно?