Олимпиадная задача по планиметрии: особые пары звеньев ломаной
Задача
На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особой, если продолжение одного из них пересекает другое звено. Докажите, что число особых пар чётно.
Решение
Рассмотрим два соседних звена ломаной AB и BC. Продолжим эти звенья за вершину B и получим лучи BM и BN, которые образуют угол MBN (точки M и N выбираются достаточно далеко на сторонах угла). Так как точки A и C лежат вне этого угла, ломаная пересекает стороны угла чётное число раз: сколько раз она зайдёт в него, столько же раз и выйдет. Образуем подобные углы при всех вершинах. Суммарное число пересечений сторон этих углов со звеньями ломаной будет чётным, а оно, очевидно, равно числу особых пар звеньев.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь