Олимпиадная задача по теории чисел: делимость суммы гармонического ряд
Нет ответа
Задача
Пусть p – простое число, большее 2, а m/n = 1 + ½ + ⅓ + ... + 1/p–1. Докажите, что m делится на p.
Решение
Достаточно доказать это утверждение для несократимой дроби m/n. В сумме 1 + ½ + ⅓ + ... + 1/p–1 сгруппируем первое слагаемое с последним, второе – с предпоследним и т.д. Получим p–1/2 сумм вида 1/k + 1/p–k = p/k(p–k). При приведении суммы таких дробей к общему знаменателю в числителе останется число, кратное p, а в знаменателе – (p – 1)!. Поскольку p просто, оно не сократится при приведении к несократимому виду.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет