Задача № 134937
Верно ли, что из любых десяти отрезков найдутся три отрезка, из которых можно составить треугольник?
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 134936
На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает.
Задача № 134935
Какое из чисел больше: 3111 или 1714?
Задача № 134934
В треугольнике каждую сторону увеличили на 1. Обязательно ли при этом увеличилась его площадь?
Задача № 134931
В столовой предложено на выбор шесть блюд. Каждый день Вася берёт некоторый набор блюд (возможно, не берет ни одного блюда), причём этот набор блюд должен быть отличен от всех наборов, которые он брал в предыдущие дни. Какое наибольшее количество дней Вася сможет питаться по таким правилам и какое количество блюд он в среднем при этом будет съедать за день?
Задача № 134930
Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.
Задача № 134929
Натуральный ряд разбит на n арифметических прогрессий (каждое натуральное число принадлежит ровно одной из этих n прогрессий). Пусть d1, d2, ..., dn – разности этих прогрессий. Докажите, что 1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dn = 1.
Задача № 134928
Дан прямоугольник 100×101, разбитый линиями сетки на единичные квадратики. Найдите число отрезков, на которое линии сетки разбивают его диагональ.
Задача № 134927
Может ли произведение трёх последовательных натуральных чисел быть степенью натурального числа (квадратом, кубом и т.д.)?
Задача № 134925
На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особой, если продолжение одного из них пересекает другое звено. Докажите, что число особых пар чётно.
Задача № 134924
На шахматной доске стоит фишка. Двое по очереди передвигают фишку на соседнюю по стороне клетку. При этом запрещается ставить фишку на поле, где она уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача № 134923
Решите уравнение x³ + x² + x + 1/3 = 0.
Задача № 134922
Пусть p – простое число, большее 2, а m/n = 1 + ½ + ⅓ + ... + 1/p–1. Докажите, что m делится на p.
Задача № 134921
а) На отрезке [0, 1] задано такое множество M, являющееся объединением нескольких отрезков, что расстояние между любыми двумя точками из M не равно 1/10. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не больше ½. б) Верно ли это же утверждение, если заменить 1/10 на ⅕?
Задача № 134920
Дано n попарно взаимно простых чисел, больших 1 и меньших (2n – 1)². Докажите, что среди них обязательно есть простое число.
Задача № 134919
Обязательно ли равны два равнобедренных треугольника, у которых равны боковые стороны и радиусы вписанных окружностей?
Задача № 134918
Докажите, что при n > 1.
Задача № 134917
На какое наименьшее число тетраэдров можно разбить куб?
Задача № 134916
Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого n-угольника, чтобы внутри каждого треугольника с вершинами в вершинах этого n-угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?
Задача № 134913
Среди любых десяти из шестидесяти ребят найдутся трое одноклассников. Докажите, что среди всех них найдутся 15 одноклассников.
Задача № 134912
Докажите, что для положительных чисел x1, x2, ..., xn, не превосходящих 1, выполнено неравенство
Задача № 134911
Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что если равны периметры треугольников ABO, BCO, CDO, DAO, то ABCD – ромб.
Задача № 134908
Можно ли на плоскости разместить конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость?
Задача № 134907
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Докажите, что если равны периметры треугольников ABC, BCD, CDA, DAB, то ABCD - прямоугольник.
Задача № 134906
В клетки таблицы 8×8 записаны числа 1 и –1 так, что в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (в частности, в угловых клетках) произведения чисел равны 1. Какое максимальное число минус единиц при этом возможно?
7451–7475 из 7538