Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 1-9 класса - сложность 4-5 с решениями

Точки<i> A</i>2,<i> B</i>2и<i> C</i>2– середины высот<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1остроугольного треугольника<i> ABC </i>. Найдите сумму углов<i> B</i>2<i>A</i>1<i>C</i>2,<i> C</i>2<i>B</i>1<i>A</i>2и<i> A</i>2<i>C</i>1<i>B</i>2.

Окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>(см рис.). Луч<i> O</i>1<i>B </i>пересекает окружность<i> S</i>2в точке<i> F </i>, а луч<i> O</i>2<i>B </i>пересекает окружность<i> S</i>1в точке<i> E </i>. Прямая, проходящая через точку<i> B </i>параллельно прямой<i> EF </i>, вторично пересекает окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2в точках<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Докажите, что<i> MN=AE+AF </i>.

Дан четырёхугольник<i> ABCD </i>, в котором<i> AB=AD </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ABC=<img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ADC=</i>90<i>^o </i>. На сторонах<i> BC </i>и<i> CD </i>выбраны соответственно точки<i> F </i>и<i> E </i>так, что<i> DF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> AE </i>. Докажите, что<i> AF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> BE </i>.

а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат. б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого <i>n</i>-угольника получается правильный <i>n</i>-угольник, то исходный многоугольник – правильный.

Окружность, вписанная в четырёхугольник<i> ABCD </i>, касается его сторон<i> DA </i>,<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> CD </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Пусть<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3и<i> S</i>4– окружности, вписанные в треугольники<i> AKL </i>,<i> BLM </i>,<i> CMN </i>и<i> DNK </i>соответственно. К окружностям<i> S</i>1и<i> S</i>2,<i> S</i>2и<i> S</i>3,<i> S</i>3и<i> S</i>4,<i> S</i>4и<i> S</i>1проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугол...

Пусть окружность, вписанная в треугольник<i> ABC </i>, касается его сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> AC </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>и<i> M </i>соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники<i> BKL </i>,<i> CLM </i>и<i> AKM </i>проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Четырёхугольник <i> ABCD </i> описан около окружности ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Окружность ω₁ касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>; окружность ω₂ касается стороны <i>AD</i> в точке <i>L</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что точки <i>O, K</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон <i>BC, AD</i> и центр окружности ω лежат на одной прямой.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Хорды<i> BA </i>и<i> BC </i>внешней окружности касаются внутренней в точках<i> K </i>и<i> M </i>соответственно. Пусть<i> Q </i>и<i> P </i>– середины дуг<i> AB </i>и<i> BC </i>, не содержащих точку<i> N </i>. Окружности, описанные около треугольников<i> BQK </i>и<i> BPM </i>, пересекаются в точке<i> B</i>1. Докажите, что<i> BPB</i>1<i>Q </i>– параллелограмм.

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника<i> ABC </i>взяты точки<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1, отличные от точки пересечения высот<i> H </i>, причём сумма площадей треугольников<i> ABC</i>1,<i> BCA</i>1,<i> CAB</i>1равна площади треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что окружность, описанная около треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1, проходит через точку<i> H </i>.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке<i> K </i>, пересекает внешнюю окружность в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Пусть<i> M </i>– середина дуги<i> AB </i>, не содержащей точку<i> N </i>. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника<i> BMK </i>, не зависит от выбора точки<i> K </i>на внутренней окружности.

Пусть<i> ABCD </i>– вписанный четырёхугольник,<i> O </i>– точка пересечения диагоналей<i> AC </i>и<i> BD </i>. Пусть окружности, описанные около треугольников<i> ABO </i>и<i> COD </i>, пересекаются в точке<i> K </i>. Точка<i> L </i>такова, что треугольник<i> BLC </i>подобен треугольнику<i> AKD </i>. Докажите, что если четырёхугольник<i> BLCK </i>выпуклый, то он он является описанным.

Пусть <i>A'</i> – точка касания вневписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Прямая <i>a</i> проходит через точку <i>A'</i> и параллельна биссектрисе внутреннего угла <i>A</i>. Аналогично строятся прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> пересекаются в одной точке.

<i> ABCD </i>– выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках<i> AB </i>и<i> CD </i>как на диаметрах, касаются внешним образом в точке<i> M </i>, отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки<i> A </i>,<i> M </i>и<i> C </i>, вторично пересекает прямую, соединяющую точку<i> M </i>и середину<i> AB </i>в точке<i> K </i>, а окружность, проходящая через точки<i> B </i>,<i> M </i>и<i> D </i>, вторично пересекает ту же прямую в точке<i> L </i>. Докажите, что<i> |MK-ML| = |AB-CD| </i>.

Радиус описанной окружности треугольника<i> ABC </i>равен радиусу окружности, касающейся стороны<i> AB </i>в точке<i> C' </i>и продолжений двух других сторон в точках<i> A' </i>и<i> B' </i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника<i> ABC </i>совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника<i> A'B'C' </i>.

Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$

Пусть<i> M </i>– точка пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>. На перпендикулярах, опущенных из<i> M </i>на стороны<i> BC </i>,<i> AC </i>и<i> AB </i>, взяты точки<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно, причём<i> A</i>1<i>B</i>1<i> <img src="/storage/problem-media/108095/problem_108095_img_2.gif"> MC </i>и<i> A</i>1<i>C</i>1<i> <img src="/storage/problem-media/108095/problem_108095_img_2.gif"> MB </i>. Докажите, что точка<i> M </i>является точкой пересечения медиан и в треугольнике<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1.

На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>ABC</i> = 20°.  На равных сторонах <i>CB</i> и <i>AB</i> взяты соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  ∠<i>PAC</i> = 50°  и  ∠<i>QCA</i> = 60°.

Докажите, что  ∠<i>PQC</i> = 30°.

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Пусть <i>P</i>, <i>Q</i> и <i>R</i> — центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>, а <i>M</i>, <i>N</i>, и <i>K</i> — центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника <i>ABC</i> внутренним образом. Докажите, что разность площадей треугольников <i>PQR</i> и <i>MNK</i> равна площади треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.

На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.

Даны окружность, две точки <i>P</i> и <i>Q</i> этой окружности и прямая. Найдите на окружности такую точку <i>M</i>, чтобы прямые <i>MP</i> и <i>MQ</i> отсекали на данной прямой отрезок <i>AB</i> данной величины.

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.

<i>ABC</i> — данный разносторонний треугольник, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – точки касания его вписанной окружности со сторонами <i>BC</i>, <i>AC</i>, <i>AB</i> соответственно, <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ — точки, симметричные точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что <!-- MATH $A_{2}C_{2} \parallel AC$ --> <i>A&lt...