Олимпиадная задача по планиметрии про треугольник и окружность для 8-10 классов
Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке.
Разобрать решение
Проведём через A1, B1 и C1 прямые a, b и c, параллельные соответственно BC, CA и AB; покажем, что они вторично пересекают описанную окружность в одной и той же точке. Действительно, пусть c пересекает окружность вторично в точке P (если она касается окружности, то P = C1). Тогда, поскольку AB || C1P и AA1 || CC1, (направленные) дуги BP, C1A и A1C равны. Это и означает, что A1P || BC, то есть a проходит через P. Аналогично b проходит через P (см. рис.).
ТочкиC1иPсимметричны относительно серединного перпендикуляра кAB, а точкиC1иC2симметричны относительноAB; это значит, чтоPиC2симметричны относительно серединыC0отрезкаAB; аналогично,A2иB2симметричны точкеPотносительно серединA0иB0соответствующих сторон треугольникаABC.
Таким образом, 
; аналогично 
и 
. Следовательно, треугольникиABCиA2B2C2центрально симметричны, и прямые, соединяющие их соответствующие вершины, проходят через центр симметрии.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.