Олимпиадная задача по планиметрии: радиусы вписанных окружностей в треугольниках сложенного квадрата

  Пусть квадрат ABCD перегнули по прямой XY. Обозначим получившиеся точки, как на рисунке.

  Диаметры вписанных окружностей треугольниковUDX, UAPиPVYравны соответственно  d₁=UD + DX – XU, d₂=UA + AP – UP  и d₃=PV + VY – PY  (см. задачу[156847](https://mirolimp.ru/tasks/156847)). Обозначив сторону квадрата черезaи заметив, что  UX = XC  и  VY = YB,  получаем d₁+d₂–d₃=DU+ (a – CX) –CX + PV + BY – PY– (a – DU) – (a – PY – BY) + (a – PV) = 2(DU + BY – CX).   Опустим перпендикулярYKнаCD. ТочкиCиUсимметричны относительноXY, поэтому  XY⊥CU  и  ∠DCU= ∠KYX.  Кроме того,  KY = CD = a.  Следовательно, прямоугольные треугольникиCDUиYKXравны, поэтому  DU = KX = CX – CK = CX – BY.  Это и значит, что  d₁+d₂–d₃= 0.