Задача № 216903
В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA1 и BB1, которые пересекаются в точке O. Затем провели высоту A1A2 треугольника OBA1 и высоту B1B2 треугольника OAB1. Докажите, что отрезок A2B2 параллелен стороне AB.
Штейнгарц Л.
11 задачЗадача № 216897
Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других.
Задача № 216834
Дана бесконечная последовательность чисел a1, a2, a3, ... Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что ak = ak+t = ak+2t = ... Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что ak = ak+T при любом натуральном k?
Задача № 166771
Внутри окружности расположен прямоугольник . Лучи и пересекают окружность в точках и . Точка – середина хорды . Аналогично определяются точки , , . Докажите, чтоотрезки и равны.
Задача № 166647
В прямоугольном треугольнике (угол прямой) , – высота, и – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники и , а – центр окружности, вписанной в треугольник . Пусть , и – проекции точек , и на гипотенузу. Докажите, что .
Задача № 166642
Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.
Задача № 166231
В параллелограмме ABCD провели трисектрисы углов A и B. Трисектрисы, ближние к стороне AB, пересекаются в точке O. Обозначим пересечение трисектрисы AO со второй трисектрисой угла B через A1, а пересечение трисектрисы BO со второй трисектрисой угла A через B1. Пусть M – середина отрезка A1B1, а прямая MO пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что треугольник A1B1N – равносторонний.
Задача № 166205
Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых A0, B0, C0 и D0 соответственно. Докажите, что отрезки A0C0 и B0D0 равны.
Задача № 165649
Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны.
Задача № 165227
В трапеции ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в точке E, лежащей на боковой стороне BC. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания AB в точке K, а две другие касаются биссектрисы DE в точках M и N. Докажите, что BK = MN.
Задача № 164456
В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A1 и B1. Докажите, что треугольник A1OB1 (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.