Олимпиадная задача по многочленам: корни квадратного трёхчлена 9-10 класс
Квадратный трёхчлен ax² + 2bx + c имеет два различных корня, а квадратный трёхчлен a²x² + 2b²x + c² корней не имеет.
Докажите, что у первого трёхчлена корни разного знака.
Разобрать решение
Пусть x1, x2, D1 – корни и упрощённый дискриминант первого трёхчлена, D2 – упрощенный дискриминант второго трёхчлена.
По теореме Виета x1x2 = c/a, поэтому достаточно доказать неравенство ac < 0.
У первого трёхчлена есть два различных корня, поэтому D1 = b² – ac > 0. У второго трёхчлена корней нет, поэтому D2 = b4 – a²c² < 0.
Так как b4 – a²c² = (b² – ac)(b² + ac), то b² + ac < 0. Тем более, ac < 0.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.