Олимпиадная задача по планиметрии: равенство владений ладей на шахматной доске 8×8
На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.
Разобрать решение
Ладья A бьёт всего 15 клеток – в своей вертикали и своей горизонтали. Рассмотрим другую клетку C в этой горизонтали. Её бьёт еще ровно одна ладья B, находящаяся с ней в одной вертикали. Эта же ладья бьёт одну клетку D, находящуюся с A в одной вертикали. A, B, C, D – угловые клетки клетчатого прямоугольника. Если этот прямоугольник – квадрат, ладьям A и B достанется по половине от клеток C и D. Если же он – не квадрат, то одна из клеток C и D достанется ладье A, а другая – ладье B. Отсюда ясно, что ладье A всего достанется 8 клеток: та, на которой она стоит, и половина от оставшихся 14 клеток. То же верно для каждой ладьи.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.