Олимпиадная задача по многочленам и производным для 9–11 классов: 4 действительных корня

Решение 1:Запишем уравнение в виде  (x – 1)⁴ + (a + 4)x + b – 1 = 0.  После замены  t = x – 1,  оно примет вид:  t⁴ = – (a + 4)t – (a + b + 3).

Функция t⁴ выпукла, поэтому ее график не может иметь с прямой  y = – (a + 4)t – (a + b + 3)  более двух точек пересечения (см. рис.).

Решение 2:Как известно, между двумя соседними корнями дифференцируемой функции есть корень её производной. Поэтому достаточно проверить, что производная функции  f(x) = х⁴ – 4х³ + 6х² + aх + b  имеет ровно один корень. Действительно,  f'(x) = 4х³ – 12х² + 12х + a = 4(х – 1)³ + (a + 4),  а уравнение вида  (х – 1)³ = с  всегда имеет ровно один корень.