Олимпиадная задача: делимость рациональных выражений — 8-9 класс, Подлипский О. К.
Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число an(n + 2)(n + 4) будет целым.
Показать ответ
a = k/3, где k – любое целое число.
Разобрать решение
Подставив n = 1 и n = 2, получаем, что числа 15a и 48a – целые. Значит, и число 48a – 3·15a = 3a – тоже целое. Таким образом, a = k/3 для некоторого целого k.
Осталось показать, что все числа такого вида подходят. Действительно, одно из трёх последовательных чётных (или нечётных) чисел
n, n + 2, n + 4 делится на 3; значит, n(n + 2)(n + 4) делится на 3, а поэтому an(n + 2)(n + 4) = ⅓ kn(n + 2)(n + 4) – целое число.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.