Олимпиадная задача: Докажите, что (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) — квадрат числа
Известно, что x, y и z – целые числа и xy + yz + zx = 1. Докажите, что число (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) является квадратом натурального числа.
Разобрать решение
1 + x² = xy + yz + zx + x² = (x + y)(x + z).
Аналогично 1 + y² = (x + y)(y + z) и 1 + z² = (x + z)(y + z).
Таким образом, (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) = ((x + y)(y + z)(x + z))². Кроме того, (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) ≥ 1.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.