Олимпиадная задача по планиметрии: Равенство отрезков в треугольнике ABC для 8-10 классов
Дан треугольник ABC. Точки A1, B1 и
C1 – середины сторон BC, AC и AB соответственно.
На продолжении отрезка C1B1 отложен отрезок B1K
по длине равный 
.
Известно, AA1 = BC. Докажите, что AB = BK.
Разобрать решение
Пусть медиана AA1 треугольника ABC пересекается со средней линией B1C1 в точке O. Тогда AB1A1C1 – параллелограмм, поэтому O – середина B1C1 и AA1.Положим AA1 = BC = 4a. Тогда
Четырёхугольник BOKA1 – также параллелограмм, поэтому M –
середина BK. Точка O лежит на медиане KC1 треугольника AKB
и делит эту медиану в отношении 
, значит, O –
точка пересечения медиан этого треугольника. Поэтому медиана AM треугольника ABC
проходит через точку O и 
В треугольнике AKB медианы KC1 и AM равны, следовательно,
этот треугольник – равнобедренный, AB = BK.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.