Олимпиадная задача: максимальная степень тройки в произведении чисел с суммой 2011

  1) Заметим, что среди множителей, входящих в A, нет единиц. Действительно, в представлении числа 2011 в виде суммы можно два слагаемых 1 и a заменить на одно слагаемое  1 + a,  и произведение при этом увеличится:  1 + a > 1·a.

  2) Докажем, что среди множителей, входящих в A, нет чисел, больших 4. Действительно, если  A ≥ 5,  то  2a – 9 > 0,  то есть  a < 3(a – 3),  и, заменив слагаемое a на два слагаемых  a – 3  и 3, можно сохранить сумму и увеличить произведение.

  3) Если заменить 4 на две двойки, то ни сумма, ни произведение не изменятся. Поэтому можно считать, что среди множителей, входящих в A, четвёрок также нет. Таким образом, в произведении A встречаются только множители 2 и 3.

  4) Двоек может быть не более двух, так как  2 + 2 + 2 = 3 + 3,  а  2³ < 3².

  5) Числа 2011 и  2009 = 2011 – 2  не кратны 3, а число  2007 = 2011 – 2 – 2  кратно 3. Следовательно, в произведении A – ровно две двойки. Таким образом,  A = 2²·3⁶⁶⁹.