Олимпиадная задача по планиметрии для 10-11 класса: четырёхугольник около окружности
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины сторон AB и CD. Известно, что IM : AB = IN : CD.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.
Разобрать решение
Прямые AI, BI, CI, DI – биссектрисы углов четырёхугольника, поэтому сумма углов AIB и CID равна 180°. Если угол AIB острый, а угол CID тупой, то
IM > ½ AB (это становится очевидным после построения окружности с диаметром AB), а IN < ½ CD, что противоречит условию. Значит, угол AIB (как и CID) прямой. Следовательно, сумма углов A и B равна 180°, то есть BC || AD.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.