Олимпиадная задача по планиметрии: повороты иглы и перестановка концов (10-11 класс)
На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45° вокруг любого из её концов.
Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом её концы поменялись местами?
Показать ответ
Нельзя.
Разобрать решение
Пусть вначале конец A иглы находится в точке (0, 0), а конец B – в точке (1, 0). Назовём весом пары чисел 
(a, b, c, d рациональны) число a + 2b + c. Заметим, что при любом возможном положении иглы вес пары координат вектора AB равен ±1. Теперь по индукции легко доказать, что вес пары координат точки A всегда чётен, а вес пары координат точки B нечётен. Поэтому поменяться местами эти точки не могут.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.