Олимпиадная задача по планиметрии: отрезки и равносторонний треугольник, 9–11 класс
Cередины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Oказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.
Разобрать решение
Пусть M, K, P, L, N и S – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF и FA соответственно (см. рис.). Pассмотрим четырёхугольник ACDF. Tогда
Поскольку SP – средняя линия этого четырёхугольника, то сложив эти равенства, получим 
Aналогично 
Cложим полученные равенства: 
По условию угол между каждыми двумя из этих трёх векторов равен 60°, следовательно, из отрезков SP, KN и LM можно составить равносторонний треугольник.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.