Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов: равносторонние треугольники на сторонах треугольника ABC
На сторонах треугольника ABC построены вне треугольника равносторонние треугольники BCA1, CAB1, ABC1, и проведены отрезки AA1, BB1и CC1. Докажите, что а) эти отрезки равны между собой; б) эти отрезки пересекаются в одной точке; в) если эта точка находится внутри треугольника ABC , то сумма расстояний от неё до трёх вершин треугольника равна длине каждого из отрезков AA1, BB1, CC1.
Разобрать решение
При повороте на угол60o вокруг вершины A , переводящем точку C1в B , точка C переходит в точку B1(рис.1). Следовательно, отрезок C1C переходит в отрезок BB1. Поэтому CC1 = BB1. Аналогично докажем, что AA1= BB1. Пусть Q — точка пересечения прямых BB1и CC1. Отрезок C1B виден из точек A и Q под углом60o . Поэтому точка Q лежит на описанной окружности треугольника ABC1. Аналогично докажем, что точка Q лежит на описанной окружности треугольника CAB1. Поскольку
BQC + BA1C = 120o + 60o = 180o,
то точка Q лежит и на описанной окружности треугольника BCA1. Тогда
AQA1= AQB + BQA1= AQB + BCA1=
120o + 60o = 180o.
Следовательно, прямая AA1проходит через точку Q .
Предположим, что AQ<BQ .
Рассмотрим образ Q1точки Q , лежащей внутри
треугольника ABC , при повороте на60o относительно точки A ,
переводящем B в C1(рис.2). При этом повороте треугольник AQB переходит в треугольник AQ1C1, а т.к. треугольник QAQ1равносторонний, то QQ1= AQ и AQQ1=60o=
AQC1. Значит, точка Q1лежит на отрезке C1Q и
C1Q = C1Q1 + Q1Q = BQ + AQ.
Следовательно, C1C = C1Q + QC = BQ + AQ + CQ . Аналогично для отрезков AA1и BB1.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.