Олимпиадная задача по планиметрии для 9-11 классов: вписанный четырехугольник

Пусть точки C₁ и B₁ лежат на сторонах AB и CD соответственно (см. рис.). Так как  ∠BC₁C = 90° – ½ ∠ABD = 90° – ½ ∠ACD = ∠BB₁C,то точкиB, C, B₁иC₁лежат на одной окружности. Значит,  ∠B₁C₁A= ∠BCB₁,  следовательно,  ∠B₁C₁A+ ∠BAD= 180°,  то естьAD || B₁C₁.

  Aналогично рассматривается случай, когда обе точки лежат на продолжении соответствующих сторон.

  B случае, когда одна из точек B₁ и C₁ лежит на стороне, а другая на продолжении,  ∠BC₁C + ∠BB₁C = 180°,  что также означает принадлежность этих точек одной окружности.