Олимпиадная задача по планиметрии: построение окружности с максимальным удалением от прямой

Пусть O, r – центр и радиус некоторой окружности, касающейся данных; r₁, r₂ – радиусы данных окружностей. Тогда либо  OO₁ = r₁ – r,  OO₂ = r₂ + r,  либо  OO₁ = r₁ + r,  OO₂ = r₂ – r,  и в обоих случаях  OO₁ + OO₂ = r₁ + r₂.  Следовательно, среди всех точек, удовлетворяющих этому условию, надо найти наиболее удалённую от прямой O₁O₂. Наибольшую высоту среди всех треугольников с данными одной стороной и суммой двух других имеет равнобедренный (см. решение задачи 155613). Отсюда получаем, что центр искомой окружности лежит на равных расстояниях  ½ (r₁ + r₂)  от точек O₁ и O₂, а её радиус равен  ½ |r₁ – r₂|.