Олимпиадная задача по планиметрии: биссектриса и медиана в треугольнике (8-11 класс)

  Пусть K – середина дуги ABC описанной окружности треугольника ABC, O – центр этой окружности; N – точка пересечения AL и CK, а AH – высота треугольника AKC (см. рис.). Так как  ∠A < ∠C,  то B лежит внутри дуги KC, значит, N лежит на отрезке AL, и  AL > AN > AH.  Далее можно рассуждать по-разному.   Первый способ.  AH > KM,  так как это высоты меньшего и большего углов треугольника AKC. Следовательно,  KM = MO + OK = MO + OB > MB.

  Второй способ. Так как  AB > BC,  то  ∠MBC > ½ ∠B > 30°.  Проведём перпендикуляр MP к стороне BC. Тогда  AL > AH = 2MP > BM.