Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 классов: трапеция, параллельные отрезки и площади
Дана трапеция ABCD с основаниями AD = a и BC = b. Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.
Показать ответ
Разобрать решение
Добавив к равновеликим треугольникамMOAиCON(см. рис.) треугольникAON, получим, что треугольникиAMNиACNтакже равновелики. Они имеют общее основаниеAN, а значит, точкиMиCравноудалены от прямойAN. А поскольку они, очевидно, лежат по одну сторону от этой прямой, прямыеMCиANпараллельны. Имеем две пары подобных треугольниковMCNиAND(а значит, AD:MN = AN:MC) иMCBиANM(откуда AN:MC = MN:BC). Стало быть, AD:MN = MN:BC, откуда MN² =AD·BC = ab.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.