Олимпиадная задача по планиметрии: точки на одной окружности в треугольнике
В треугольнике ABC с углом B , равным60o , проведена биссектриса CL . Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC . Описанная окружность треугольника ALI пересекает сторону AC в точке D . Докажите, что точки B , L , D и C лежат на одной окружности.
Разобрать решение
Лучи AI и CI — биссектрисы углов BAC и ACB треугольника ABC , поэтому
AIC = 90o+
ABC =
90o+· 60o = 90o+
30o = 120o,
значит,
AIL = 180o- AIC = 180o-120o=
60o.
Рассмотрим описанную окружность треугольника ALI .
Вписанные в неё углы ADL и AIL опираются на одну и ту же
дугу, значит, ADL = AIL = 60o .
Тогда
CDL + LBC = (180o- ADL)+
ABC = (180o-60o)+60o= 180o.
Следовательно, четырёхугольник BLDC — вписанный, т.е. точки B , L , D и C лежат на одной окружности.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.