Олимпиадная задача по планиметрии: доказательство отношения BD и PQ в трапеции
Точки P и Q – середины оснований AD и BC трапеции ABCD соответственно. Оказалось, что AB = BC, а точка P лежит на биссектрисе угла B.
Докажите, что BD = 2PQ.
Разобрать решение
Решение 1:Пусть Q1 – середина стороны AB. Треугольники BPQ1 и BPQ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому PQ = PQ1, а так как PQ1 – средняя линия треугольника ABD, то PQ1 = ½ BD. Следовательно, PQ = PQ1 = ½BD.
Решение 2:Точка P лежит на биссектрисе угла B и BC || AD, поэтому ∠APB = ∠CBP = ∠ABP. Значит, треугольник APB – равнобедренный, AB = AP. Таким образом, BC = AB = AP = PD и BC || AP. Следовательно, четырёхугольник ABCP – ромб, а BPDC – параллелограмм. Точка O пересечения диагоналей CP и BD этого параллелограмма – середина каждого из отрезков CP и AD. Медианы PQ и BO равнобедренного треугольника BPC, проведённые к равным сторонам, равны, следовательно, PQ = BO = ½ BD.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.