Олимпиадная задача по планиметрии для 9-10 классов: прямая MN и дуга DE в треугольнике
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.
Разобрать решение
Середину меньшей дугиDEобозначим черезK. Тогда ∠MEK= ∠MED– ∠KED= ∠MED– ∠KCD= ½ ∠AED– ½ ∠ECD= ½ ∠CDE= ∠EDN (в частности, точкаKлежит внутри углаMED, так как ∠MED> ∠KED). Аналогично ∠MDK= ∠DEN. Пусть прямыеDKиEKпересекают описанную окружность треугольникаDEMсоответственно в точкахPиQ(рис. справа). Так как DK = EK, то ∠KED= ∠KDE= ∠PDE= ∠PQE, откуда PQ || DE. Далее, ∠QPM= ∠QEM= ∠KEM= ∠EDN и аналогично ∠PQM= ∠DEN. Отсюда вытекает, что треугольникиDENиPQMгомотетичны, причёмKявляется центром гомотетии (как точка пересечения прямыхQEиPD). Следовательно,MNпроходит черезK.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.