Олимпиадная задача: бесконечная арифметическая прогрессия в числовой последовательности (Мурашкин М. В., 9–11 класс)
Последовательность(an)задана условиями a1= 1000000, an+1=n[
]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Разобрать решение
Заметим, что числа kn=
=[an n]+1– натуральные, причем
kn+1=[an+1 n+1]+1=[
]+1
=kn+[-
]+1
kn-1+1=kn.
Значит, последовательность kn невозрастающая, и все ее члены– натуральные числа. Тогда, начиная с некоторого момента, она постоянна, т.е. kn=kn+1=kn+2=..=k . Это значит, что при d
n выполняется равенство ad+2-ad+1=(d+1)kd+1-dkd=(d+1)k-dk=k , то есть вся подпоследовательность an+1,an+2,an+3,.. является арифметической прогрессией с разностью k .
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.