Олимпиадная задача: центр описанной окружности треугольника проекций точки P внутри треугольника ABC

Пусть A₁ , B₁ , C₁ – точки, симметричные P относительно BC , CA , AB . Так как CA₁=CP=CB₁ , серединный перпендикуляр к отрезку A₁B₁ совпадает с биссектрисой угла A₁CB₁ . Так как A₁CB₁=2 ACB , эта биссектриса проходит внутри угла ACB (рис.8.6). Аналогично, серединные перпендикуляры к отрезкам A₁C₁ и B₁C₁ проходят внутри соответствующих углов треугольника ABC . Следовательно, центр Q окружности, описанной около треугольника A₁B₁C₁ , лежит внутри треугольника ABC . Так как треугольник A'B'C' получается из треугольника A₁B₁C₁ гомотетией с центром P и коэффициентом , центр окружности, описанной около A'B'C' , совпадает с серединой отрезка PQ и, значит, лежит внутри ABC .