Олимпиадная задача по теории чисел для 8-10 классов от Сендерова В. А.

По условию  a²ⁿ = x² + y² + 2xy = a^m + 2xy > a^m,  значит,  a²ⁿ делится на a^m.  Следовательно, и 2xy делится на  a^m = x² + y².  Получаем, что

2xy ≥ x² + y² ≥ 2xy .  Отсюда  x² + y² = 2xy,  x = y.  Следовательно,  2x = aⁿ,  2x² = a^m,  откуда  4x² = a²ⁿ,  2 = a^2n–m.  Окончательно,  a = 2, x = y = 2^k,  где

k ≥ 0.