Олимпиадная задача по теории чисел: делимость произведения и суммы для 8-10 классов

  Обозначим эти числа a, b и c. Положим  x = НОД(b, c),  y = НОД(c, a)  и  z = НОД(a, b).  Предположим, что числа a, b и c не имеют общего делителя, большего единицы. Тогда числа x, y и z попарно взаимно просты. Поэтому  a = kyz,  b = lxz  и  c = mxy,  где k, l и m – некоторые натуральные числа. Из определения наибольшего общего делителя следует, что числа ky и lx взаимно просты. По условию kyzlxz кратно  kyz + lxz,  значит, kylxz кратно  ky + lx.  Заметим, что  НОД(ky, ky + lx) = НОД(ky, lx) = 1  и аналогично   НОД(lx, ky + lx) = 1.  Таким образом, z кратно  ky + lx.  Стало быть,  z ≥ ky + lx ≥ x + y.

  Рассуждая аналогично, получим, что  x ≥ y + z  и  y ≥ x + z.  Но эти три неравенства не могут выполняться одновременно. Противоречие.