Олимпиадная задача по теории чисел: расстановка чисел по кругу для 7-9 классов
Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?
Показать ответ
Нельзя.
Разобрать решение
Пусть нам удалось расставить числа требуемым образом. Возьмём число 7. По условию 7-е, 14-е, 21-е, 28-е, 35-е, 42-е, 49-е, 56-е от него по часовой стрелке числа кратны 7. Мы насчитали уже 9 различных чисел, кратных 7. Но среди чисел от 1 до 60 их всего восемь (7·1, ..., 7·8). Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.