Олимпиадная задача по многочленам и делимости для 8-10 классов Храброва
Даны целые числа a, b и c, c ≠ b. Известно, что квадратные трёхчлены ax² + bx + c и (c – b)x² + (c – a)x + (a + b) имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что a + b + 2c делится на 3.
Разобрать решение
Вычитая из первого трёхчлена второй, получим, что они оба имеют общий корень с трёхчленом (a + b – c)(x² + x – 1). Следовательно, либо
a + b – c = 0, либо их общий корень совпадает с одним из корней трёхчлена x² + x – 1.
В первом случае a + b + 2c = 3c кратно 3.
Во втором случае пусть u – общий корень трёхчленов ax² + bx + c = 0 и x² + x – 1 = 0. Тогда au² + bu + c + c(u² + u – 1) = 0, откуда
(a + c)u + (b + c) = 0. Число u иррационально, поэтому полученное равенство возможно только если a + c = 0 и b + c = 0. Отсюда a = b = – c и
a + b + 2c = 0.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.