Олимпиадная задача по алгебраическим неравенствам для 8–10 классов от Храброва А.

  Возведём доказываемое неравенство в квадрат:  

  Сначала покажем, что  

  Действительно, после приведения к общему знаменателю и раскрытия скобок имеем

2(1 + x² + y² + x²y²) – (1 + y² + xy + xy³) – (1 + x² + xy + x³y) = (1 – xy)(x – y)² ≥ 0.   Согласно неравенству Коши  

  Для завершения доказательства осталось сложить полученные неравенства.