Олимпиадная задача по теории чисел: Докажите возрастание последовательности aₙ (Храбров А., 9-11 класс)

  Условие эквивалентно тому, что начиная с некоторого n число a_n не делится на 5. Докажем это.

  Покажем, что найдутся два соседних члена последовательности, не кратных 5. Предположим противное. Тогда для любого n либо a_n+1 получается из a_n делением на 5, либо a_n+2 получается из a_n+1 делением на 5. Заметим, что всегда  a_k+1 ≤ a_k ,  поэтому  a_n+2 ≤ ⅕ a_n < a_n.  Это означает, что последовательность натуральных чисел a₁, a₃, a₅, ... строго убывает. Противоречие.

  Итак, найдутся a_k и a_k+1, не делящиеся на 5. Докажем, что a_k+2 также не кратно 5. Так же последовательно получим, что a_k+3, a_k+4, ... не делятся на 5, что и требуется.

  a_k+1 = [ a_k],  a_k+2 = [ a_k+1].  Положим  a_k = m,  тогда a_k+1 = m – α,  где  0 < α < 1.  a_k+2 = [( m – α] = 5m + [– α].  Но поскольку

0 < α < 3,  то  m – 3 ≤ a_k+2 < 5m,  то есть a_k+2 не делится на 5.