Олимпиадная задача по многочленам и анализу для 9–11 классов от Терешина Д. А.
Многочлен P(x) = x³ + ax² + bx + c имеет три различных действительных корня, а многочлен P(Q(x)), где Q(x) = x² + x + 2001, действительных корней не имеет. Докажите, что P(2001) > 1/64.
Разобрать решение
По условию P(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3), следовательно, P(Q(x)) = (Q(x) –x1)(Q(x) –x2)(Q(x) –x3), где Q(x) –xi≠ 0, i= 1, 2, 3, то есть Di= 1 – 4(2001 –xi) < 0. Перемножив полученные неравенства 2001 –xi> ¼, получаем P(2001) = (2001 –x1)(2001 –x2)(2001 –x3) >1/64.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.