Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: квадрат и окружность — сумма дуг и периметров
Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF, BGH, CIJ, DKL (EF, GH, IJ, KL — дуги окружности). Докажите, что
а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL;
б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.
Разобрать решение
а) Проведём два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, параллельных сторонам AB и BC квадрата. Эти диаметры делят дуги окружности, лежащие вне квадрата, пополам, т.к. они делят пополам хорды, стягивающие эти дуги. Поэтому сумма дуг EF и IJ получается так: нужно из двух противоположных четвертей окружности выкинуть половинки дуг, лежащих вне квадрата. Точно так же для суммы дуг GH и KL.
б) Поскольку проведённые диаметры делят пополам хорды окружности, высекаемые на сторонах квадрата, то в каждой из пар вертикальных углов, образованных этими диаметрами, лежат отрезки, сумма длин которых равна половине периметра квадрата. Следовательно, суммы прямолинейных сторон соответствующих пар треугольников равны.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.