Задача № 216727
Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком. Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем .
Произволов В. В.
87 задачЗадача № 216712
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны. Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
Задача № 216456
Имеется 200 гирек массами 1, 2, ..., 200 грамм. Их разложили на две чаши весов по 100 гирек на каждую, и весы оказались в равновесии. На каждой гирьке записали, сколько гирек на противоположной чаше легче неё. Докажите, что сумма чисел, записанных на гирьках левой чаши, равна сумме чисел, записанных на гирьках правой чаши.
Задача № 216397
100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.
Задача № 216386
На стороне AB треугольника ABC взята такая точка P, что AP = 2PB, а на стороне AC – ее середина, точка Q. Известно, что CP = 2PQ. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Задача № 216375
На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что AQ = AC, BP = BC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
Задача № 216268
Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники. Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).
Задача № 216258
На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так, что BP = CQ. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба.
Задача № 216257
Найдите все такие натуральные числа a и b, что (a + b²)(b + a²) является целой степенью двойки.
Задача № 216244
В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная ABCDEF, противоположные звенья которой параллельны (AB || DE, BC || EF и CD || FA). При этом AB не равно DE. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.
Задача № 216239
Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г. Из них выбрали 10 гирь чётной массы и положили на левую чашу весов. Затем выбрали 10 гирь нечётной массы и положили на правую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажите, что на какой-нибудь чаше есть две гири с разностью масс в 20 г.
Задача № 216053
Квадрат ABCD разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура F является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю AC. Докажите, что AC делит площадь фигуры F пополам.
Задача № 216029
Концы N хорд разделили окружность на 2N дуг единичной длины. Известно, что каждая из хорд делит окружность на две дуги чётной длины. Докажите, что число N чётно.
Задача № 216005
В шахматном турнире участвовало 8 человек, и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?
Задача № 215997
Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?
Задача № 211915
Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.
Задача № 211875
При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные b1, ..., bn (не все из которых равны), что при всех натуральных k число (b1 + k)(b2 + k)...(bn + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)
Задача № 211644
Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.
Задача № 210031
Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.
Задача № 208681
Точки P1, P2, ..., Pn–1 делят сторону BC равностороннего треугольника ABC на n равных частей: BP1 = P1P2 = ... = Pn–lC. Точка M выбрана на стороне AC так, что AM = BP1. Докажите, что ∠AP1M+ ∠AP2M+ ... + ∠APn–1M= 30°, если а) n= 3; б)n– произвольное натуральное число.
Задача № 208680
Дан равносторонний треугольник ABC. Сторона BC разделена на три равные части точками K и L, а точка M делит сторону AC в отношении 1 : 2, считая от вершины A. Докажите, что сумма углов AKM и ALM равна 30°.
Задача № 208613
Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF, BGH, CIJ, DKL (EF, GH, IJ, KL – дуги окружности). Докажите, что а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL; б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.
Задача № 208606
В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника). Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
Задача № 208599
Из точки O, лежащей внутри выпуклого n-угольника A1A2...An, проведены отрезки ко всем вершинам: OA1, OA2, ..., OAn . Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n-угольника – острые, причём ∠OA1An ≤ ∠OA1A2, ∠OA2A1 ≤ ∠OA2A3, ..., ∠OAn–1An–2 ≤ ∠OAn–1An, ∠OAnAn–1 ≤ ∠OAnA1. Докажите, что O – центр окружности, вписанной в n-угольник.
Задача № 208598
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников. Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
Задача № 208175
На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и K, а на стороне AC – точки E и M, причём DA + AE = KC + CM = AB. Докажите, что угол между прямыми DM и KE равен 60°.
Задача № 208168
Внутри острого угла XOY взяты точки M и N, причём ∠XON = ∠YOM. На луче OX отмечена точка Q так, что ∠NQO = ∠MQX, а на луче OY – точка P так, что ∠NPO = ∠MPY. Докажите, что длины ломаных MPN и MQN равны.
Задача № 208161
В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что ∠AC'B' = ∠B'A'C, ∠CB'A' = ∠A'C'B, ∠BA'C' = ∠C'B'A. Докажите, что точки A', B', C' – середины сторон треугольника ABC.
Задача № 208153
Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AD и дугой BD некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.
Задача № 208150
В прямоугольном треугольнике ABC точка O – середина гипотенузы AC . На отрезке AB взята точка M , а на отрезке BC – точка N , причём угол MON – прямой. Докажите, что AM2+CN2 = MN2.
Задача № 208113
Прямая отсекает от правильного 10-угольника ABCDEFGHIJ со стороной 1 треугольник PAQ, в котором PA + AQ = 1. Найдите сумму углов, под которыми виден отрезок PQ из вершин B, C, D, E, F, G, H, I, J.
Задача № 208046
Стороны AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD равны соответственно сторонам A'B', B'C', C'D' и D'A' четырёхугольника A'B'C'D', причём известно, что AB || CD и B'C' || D'A'. Докажите, что оба четырёхугольника – параллелограммы.
Задача № 208020
Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF, BGH, CIJ, DKL (EF, GH, IJ, KL — дуги окружности). Докажите, что а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL; б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.
Задача № 207863
Числа x, y, z удовлетворяют равенству x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½. Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.
Задача № 207858
Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону. Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.
Задача № 207857
Пусть a, b, c – такие целые неотрицательные числа, что 28a + 30b + 31c = 365. Докажите, что a + b + c = 12.
Задача № 207856
На отрезке [0, 1] отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.
Задача № 207845
Найдутся ли натуральные числа x, y и z, удовлетворяющие условию 28x + 30y + 31z = 365?
Задача № 207842
Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?
Задача № 207829
В выпуклом шестиугольнике AC1BA1CB1 AB1 = AC1, BC1 = BA1, CA1 = CB1 и ∠A + ∠B + ∠C = ∠A1 + ∠B1 + ∠C1. Докажите, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.
Задача № 207821
В некоторых клетках шахматной доски стоят фигуры. Известно, что на каждой горизонтали стоит хотя бы одна фигура, причём в разных горизонталях – разное число фигур. Докажите, что всегда можно отметить 8 фигур так, чтобы в каждой вертикали и каждой горизонтали стояла ровно одна отмеченная фигура.
Задача № 207817
В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.
Задача № 207798
По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.
Задача № 207777
Прямая отсекает треугольник AKN от правильного шестиугольника ABCDEF так, что AK + AN = AB. Найдите сумму углов, под которыми отрезок KN виден из вершин шестиугольника (∠KAN + ∠KBN + ∠KCN + ∠KDN + ∠KEN + ∠KFN).
Задача № 207764
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый). а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части? б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)
Задача № 205049
Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a² + 2cd + b² и c² + 2ab + d² являются полными квадратами.
Задача № 205048
Покажите как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).
Задача № 203890
Прямоугольник разрезали шестью вертикальными и шестью горизонтальными разрезами на 49 прямоугольников (см. рисунок). Оказалось, что периметр каждого из получившихся прямоугольников — целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника — целое число метров?