Олимпиадная задача по планиметрии для 8-10 классов: сумма длин сторон в разрезанном квадрате

Решение 1:Увеличим каждого прямоугольника сторону, перпендикулярную отмеченной, до 1. При этом его площадь не уменьшится и станет (численно) равной длине выбранной стороны. Таким образом, сумма длин выбранных сторон равна сумме площадей удлинённых прямоугольников, которая, в свою очередь, не меньше площади единичного квадрата.

Решение 2:Спроектируем все отмеченные отрезки на одну из сторон квадрата. Если она полностью покрыта проекциями, то их суммарная длина не меньше 1. Если на стороне есть точка, не покрытая проекциями, то проведём через неё перпендикуляр к стороне. Этот перпендикуляр покрыт прямоугольниками, в которых отмечена сторона, параллельная ему (иначе основание перпендикуляра покрыто проекцией отмеченной стороны), значит, суммарная длина этих отрезков равна 1.