Олимпиадная задача по теории чисел и алгебре: доказательство равенства для целых чисел, 7–9 классы

  Пусть  a + b + c ≤ 11.  Тогда  28a + 30b + 31c ≤ 31(a + b + c) ≤ 11·31 = 341 < 365.  Противоречие.

  Пусть  a + b + c ≥ 14.  Тогда  28a + 30b + 31c ≥ 28(a + b + c) ≥ 28·14 = 392 > 365.  И этого быть не может!

  Пусть  a + b + c = 13.  Вариант  a = 13,  b = c = 0  не удовлетворяет условию:  28·13 + 30·0 + 31·0 = 364 ≠ 365.  Остаётся вариант  a + b + c = 13,  a < 13.  В этом случае  b + c > 0  и  28a + 30b + 31c = 28(a + b + c) + 2b + 3c ≥ 28·13 + 2(b + c) ≥ 364 + 2 > 365.